Вероятностные и статистические методы. Вероятность и статистика – основные факты Смотреть что такое "Статистические методы" в других словарях

Вероятностно-статистические методы моделирования экономических систем

Введение

Под задачей идентификации закона распределения наблюдаемой случайной величины (структурно-параметрической идентификации), как правило, понимают задачу выбора такой параметрической модели закона распределения вероятностей, которая наилучшим образом соответствует результатам экспериментальных наблюдений. Случайные ошибки средств измерений не так уж часто подчиняются нормальному закону, точнее, не так часто хорошо описываются моделью нормального закона. В основе измерительных приборов и систем лежат различные физические принципы, различные методы измерений и различные преобразования измерительных сигналов. Погрешности измерений как величины являются следствием влияния множества факторов, случайного и неслучайного характера, действующих постоянно или эпизодически. Поэтому понятно, что только при выполнении определенных предпосылок (теоретических и технических) погрешности измерений достаточно хорошо описываются моделью нормального закона.

Вообще говоря, следует понимать, что истинный закон распределения (если он, конечно, существует), описывающий погрешности конкретной измерительной системы, остается (останется) неизвестным, не смотря на все наши попытки его идентифицировать. На основании данных измерений и теоретических соображений мы можем только подобрать вероятностную модель, которая в некотором смысле наилучшим образом приближает этот истинный закон. Если построенная модель адекватна, то есть применяемые критерии не дают оснований для ее отклонения, то на основе данной модели можно вычислить все интересующие нас вероятностные характеристики случайной составляющей погрешности измерительного средства, которые будут отличаться от истинных значений только за счет не исключенной систематической (ненаблюдаемой или нерегистрируемой) составляющей погрешности измерений. Ее малость и характеризует правильность измерений. Множество возможных законов распределения вероятностей, которые можно использовать для описания наблюдаемых случайных величин, не ограничено. Бессмысленно ставить целью задачи идентификации нахождение истинного закона распределения наблюдаемой величины. Мы можем лишь решать задачу выбора наилучшей модели из некоторого множества. Например, из того множества параметрических законов и семейств распределений, которые используются в приложениях, и упоминание о которых можно найти в литературных источниках.

Классический подход к структурно-параметрической идентификации закона распределения. Под классическим подходом будем понимать алгоритм выбора закона распределения, целиком базирующийся на аппарате математической статистики.

1. Элементарные понятия о случайных событиях, величинах и функциях

Мы уже видели, что для многих экспериментов нет никаких различий в подсчёте вероятностей событий, тогда как элементарные исходы в этих экспериментах очень различаются. Но нас и должны интересовать именно вероятности событий, а не структура пространства элементарных исходов. Поэтому пора во всех таких «похожих» экспериментах вместо самых разных элементарных исходов использовать, например, числа. Иначе говоря, каждому элементарному исходу поставить в соответствие некоторое вещественное число, и работать только с числами.

Пусть задано вероятностное пространство .

Определение 26. Функция называется случайной величиной , если для любого борелевского множества множество является событием, т.е. принадлежит - алгебре .

Множество , состоящее из тех элементарных исходов , для которых принадлежит , называется полным прообразом множества .

Замечание 9. Вообще, пусть функция действует из множества в множество , и заданы -алгебры и подмножеств и соответственно. Функция называется измеримой , если для любого множества его полный прообраз принадлежит .

Замечание 10.Читатель, не желающий забивать себе голову абстракциями, связанными с -алгебрами событий и с измеримостью, может смело считать, что любое множество элементарных исходов есть событие, и, следовательно, случайная величина есть произвольная функция из в . Неприятностей на практике это не влечёт, так что всё дальнейшее в этом параграфе можно пропустить.

Теперь, избавившись от нелюбопытных читателей, попробуем понять, зачем случайной величине нужна измеримость.

Если задана случайная величина , нам может потребоваться вычислить вероятности вида , , , (и вообще самые разные вероятности попадания в борелевские множества на прямой). Это возможно лишь если множества, стоящие под знаком вероятности, являются событиями - ведь вероятность есть функция, определённая только на -алгебре событий. Требование измеримости равносильно тому, что для любого борелевского множества определена вероятность .

Можно потребовать в определении 26 чего-нибудь другого. Например, чтобы событием было попадание в любой интервал: , или в любой полуинтервал: .

Убедимся, например, что эквивалентны определения 26 и 27:

Определение 27.Функция называется случайной величиной, если для любых вещественных множество принадлежит -алгебре .

Доказательствоэквивалентности определений 26, 27.

Если - случайная величина в смысле определения 26, то она будет случайной величиной и в смысле определения 27, поскольку любой интервал является борелевским множеством.

Докажем, что верно и обратное. Пусть для любого интервала выполнено . Мы должны доказать, что то же самое верно и для любых борелевских множеств.

Соберём в множестве все подмножества вещественной прямой, прообразы которых являются событиями. Множество уже содержит все интервалы . Покажем теперь, что множество является -алгеброй. По определению, тогда и только тогда, когда множество принадлежит .

1. Убедимся, что . Но и, следовательно, .

2. Убедимся, что для любого . Пусть . Тогда , так как - -алгебра.

3. Убедимся, что для любых . Пусть для всех . Но - -алгебра, поэтому

Мы доказали, что - -алгебра и содержит все интервалы на прямой. Но - наименьшая из -алгебр, содержащих все интервалы на прямой. Следовательно, содержит : .

Приведём примеры измеримых и неизмеримых функций.

Пример 25.Подбрасываем кубик. Пусть , и две функции из в заданы так: , . Пока не задана -алгебра , нельзя говорить об измеримости. Функция, измеримая относительно какой-то -алгебры , может не быть таковой для другой .

Если есть множество всех подмножеств , то и являются случайными величинами, поскольку любое множество элементарных исходов принадлежит , в том числе и или . Можно записать соответствие между значениями случайных величин и и вероятностями принимать эти значения в виде «таблицы распределения вероятностей» или, коротко, «таблицы распределения»:

Здесь .

2. Пусть -алгебра событий состоит из четырёх множеств:

т.е. событием является, кроме достоверного и невозможного событий, выпадение чётного или нечётного числа очков. Убедимся, что при такой сравнительно бедной -алгебре ни , ни не являются случайными величинами, поскольку они неизмеримы. Возьмём, скажем, . Видим, что и

2. Числовые характеристики случайных величин

Математическое ожидание. Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х, принимающей конечное число значений хi с вероятностями рi, называется сумма:

(6а)

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х называется интеграл от произведения ее значений х на плотность распределения вероятностей f(x):

(6б)

Несобственный интеграл (6б) предполагается абсолютно сходящимся (в противном случае говорят, что математическое ожидание М (Х) не существует). Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины Х. Его размерность совпадает с размерностью случайной величины. Свойства математического ожидания:

Дисперсия. Дисперсией случайной величины Х называется число:

Дисперсия является характеристикой рассеяния значений случайной величины Х относительно ее среднего значения М (Х). Размерность дисперсии равна размерности случайной величины в квадрате. Исходя из определений дисперсии (8) и математического ожидания (5) для дискретной случайной величины и (6) для непрерывной случайной величины получим аналогичные выражения для дисперсии:

Здесь m = М (Х).

Свойства дисперсии:

(10)

Среднее квадратичное отклонение:

(11)

Так как размерность среднего квадратичного отклонения та же, что и у случайной величины, оно чаще, чем дисперсия, используется как мера рассеяния.

Моменты распределения. Понятия математического ожидания и дисперсии являются частными случаями более общего понятия для числовых характеристик случайных величин - моментов распределения. Моменты распределения случайной величины вводятся как математические ожидания некоторых простейших функций от случайной величины. Так, моментом порядка k относительно точки х0называется математическое ожидание М (Х - х0) k. Моменты относительно начала координат х = 0 называются начальными моментами и обозначаются:

(12)

Начальный момент первого порядка есть центр распределения рассматриваемой случайной величины:

(13)

Моменты относительно центра распределения х = m называются центральными моментами и обозначаются:

(14)

Из (7) следует, что центральный момент первого порядка всегда равен нулю:

(15)

Центральные моменты не зависят от начала отсчета значений случайной величины, так как при сдвиге на постоянное значение С ее центр распределения сдвигается на то же значение С, а отклонение от центра не меняется:

Х - m = (Х - С) - (m - С).

Теперь очевидно, что дисперсия - это центральный момент второго порядка:

(16)

Асимметрия. Центральный момент третьего порядка:

(17)

служит для оценки асимметрии распределения. Если распределение симметрично относительно точки х = m, то центральный момент третьего порядка будет равен нулю (как и все центральные моменты нечетных порядков). Поэтому, если центральный момент третьего порядка отличен от нуля, то распределение не может быть симметричным. Величину асимметрии оценивают с помощью безразмерного коэффициента асимметрии:

(18)

Знак коэффициента асимметрии (18) указывает на правостороннюю или левостороннюю асимметрию (рис. 2).

Рис. 1. Виды асимметрии распределений

Эксцесс. Центральный момент четвертого порядка:

(19)

служит для оценки так называемого эксцесса, определяющего степень крутости (островершинности) кривой распределения вблизи центра распределения по отношению к кривой нормального распределения. Так как для нормального распределения, то в качестве эксцесса принимается величина:

(20)

На рис. 3 приведены примеры кривых распределения с различными значениями эксцесса. Для нормального распределения Е = 0. Кривые, более островершинные, чем нормальная, имеют положительный эксцесс, более плосковершинные - отрицательный.

Рис. 2. Кривые распределения с различной степенью крутости (эксцессом)

Моменты более высоких порядков в инженерных приложениях математической статистики обычно не применяются.

Мода дискретной случайной величины - это ее наиболее вероятное значение. Модой непрерывной случайной величины называется ее значение, при котором плотность вероятности максимальна (рис. 2). Если кривая распределения имеет один максимум, то распределение называется унимодальным. Если кривая распределения имеет более одного максимума, то распределение называется полимодальным. Иногда встречаются распределения, кривые которых имеют не максимум, а минимум. Такие распределения называются антимодальными. В общем случае мода и математическое ожидание случайной величины не совпадают. В частном случае, для модального, т.е. имеющего моду, симметричного распределения и при условии, что существует математическое ожидание, последнее совпадает с модой и центром симметрии распределения.

Медиана случайной величины Х - это ее значение Ме, для которого имеет место равенство: т.е. равновероятно, что случайная величина Х окажется меньше или больше Ме. Геометрически медиана - это абсцисса точки, в которой площадь под кривой распределения делится пополам. В случае симметричного модального распределения медиана, мода и математическое ожидание совпадают.

. Статистическая оценка законов распределения случайных величин

Генеральной совокупностью - называется совокупность всех подлежащих изучению объектов или возможных результатов всех наблюдений, производимых в одинаковых условиях над одним объектом.

Выборочной совокупностью или выборкой называется совокупность объектов или результатов наблюдения над объектом, отобранных случайным образом из генеральной совокупности.

Объемом выборки называется число объектов или наблюдений в выборке.

Конкретные значения выборки называются наблюдаемыми значениями случайной величины Х. Наблюдаемые значения заносятся в протокол. Протокол представляет собой таблицу. Составленный протокол является первичной формой записи обработки полученного материала. Для получения достоверных, надежных выводов выборка должна быть достаточно представительной по объему. Большая выборка - это неупорядоченное множество чисел. Для исследования выборку приводят к наглядному упорядоченному виду. Для этого в протоколе находят наибольшее и наименьшее значения случайной величины. Выборка, отсортированная по возрастанию, приведена в таблице 1.

Таблица 1. Протокол

8,66-5,49-4,11-3,48-2,9-2,32-1,82-1,09-0,440,64-8,31-4,71-3,92-3,41-2,85-2,31-1,82-1,01-0,430,71-8,23-4,68-3,85-3,33-2,83-2,29-1,8-0,99-0,430,73-7,67-4,6-3,85-3,25-2,77-2,27-1,77-0,95-0,310,99-6,64-4,43-3,81-3,08-2,72-2,25-1,73-0,89-0,31,03-6,6-4,38-3,8-3,07-2,67-2,19-1,38-0,70,041,05-6,22-4,38-3,77-3,01-2,6-2,15-1,32-0,560,081,13-5,87-4,25-3,73-3,01-2,49-2,09-1,3-0,510,151,76-5,74-4,18-3,59-2,99-2,37-2,01-1,28-0,490,262,95-5,68-4,14-3,49-2,98-2,33-1,91-1,24-0,480,534,42

Размахом выборки называется разность между наибольшим и наименьшим значением случайной величины Х:

Размах выборки разбивают на k интервалов - разрядов. Число разрядов устанавливают в зависимости от величины размаха выборки от 8 до 25, в этой курсовой работе примем k = 10.

Тогда длина интервала будет равна:

В протоколе подсчитаем число наблюдаемых значений, попавших в каждый интервал, обозначим их m1, m2,…, m10. .

Назовем mi частотой попадания случайной величины в i интервал. Если какое-либо наблюдаемое значение случайной величины совпадает с концом интервала, то это значение случайной величины по договоренности относят в один из интервалов.

После того как определили частоты mi, определим частости случайной величины, т.е. найдем отношение частот mi к общему числу наблюдаемых значений n.

Частость, условие полноты -

Найдем середину каждого интервала: .

Составим таблицу 2

Таблица значений границ интервалов и соответствующих частостей , где i = 1, 2, 3, …, k, называется статистическим рядом. Графическим изображением статистического ряда называется гистограмма. Она строится следующим образом: по оси абсцисс откладывают интервалы и на каждом таком интервале, как на основании, строится прямоугольник, площадь которого равна соответствующей частости.

, - высота прямоугольника, .

Таблица 2

Номер интервалаЛевая граница интервалаПравая граница интервалаИнтервалСередина интервалаЧастота интервалаЧастость интервалаВысота прямо-угольника1-8,66-7,352(-8,66; -7,352)-8,00640,040,03062-7,352-6,044(-7,352; -6,044)-6,69830,030,02293-6,044-4,736(-6,044; -4,736)-5,3940,040,03064-4,736-3,428(-4,736; -3,428)-4,082200,20,15295-3,428-2,12(-3,428; -2,12)-2,774260,260,19886-2,12-0,812(-2,12; -0,812)-1,466180,180,13767-0,8120,496(-0,812; 0,496)-0,158140,140,107080,4961,804(0,496; 1,804)1,1590,090,068891,8043,112(1,804; 3,112)2,45810,010,0076103,1124,42(3,112; 4,42)3,76610,010,0076Сумма1001

Рисунок 3

Статистической функцией распределения называется частость случайной величины, не превосходящая заданного значения Х:

Для дискретной случайной величины Х статистическая функция распределения находится по формуле:

Запишем статистическую функцию распределения в развернутом виде:

где - это середина интервала i, а - это соответствующие частости, где i=1, 2,…, k.

График статистической функции распределения есть ступенчатая линия, точками разрыва которой являются середины интервалов, а конечные скачки равны соответствующим частотам.

Рисунок 3

Вычисление числовых характеристик статистического ряда

Статистическое математическое ожидание,

Статистическая дисперсия,

Статистическое среднеквадратическое отклонение.

Статистическим математическим ожиданием или статистическим средним называется среднеарифметическое наблюдаемых значений случайной величины Х.

Статистической дисперсией называется среднеарифметическое значение величиныили

При большом объеме выборки вычисления по формулам и приводят к громоздким выкладкам. Для упрощения расчетов используют статистический ряд с границами и частостями , где i = 1, 2, 3, …, k, находят середины интервалов , а затем все элементы выборки, которые попали в интервал, заменяют единственным значением, тогда таких значений будетв каждом интервале .

где - среднее значение соответствующего интервала; - частость интервала

Таблица 4. Числовые характеристики

Частость PiXiPi(Xi-m)^2(Xi-m)^2*Pi1-8,0060,04-0,320231,486911,25952-6,6980,03-0,200918,518560,55563-5,390,04-0,21568,971940,35894-4,0820,20-0,81642,847050,56945-2,7740,26-0,72120,143880,03746-1,4660,18-0,26390,862450,15527-0,1580,14-0,02215,002740,700481,150,090,103512,564761,130892,4580,010,024623,548500,2355103,7660,010,037737,953980,3795Статистическое математическое ожидание-2,3947Статистическая дисперсия5,3822Статистическое среднее квадратическое отклонение2,3200

Определяет положение центра группировки наблюдаемых значений случайной величины.

, характеризуют рассеяние наблюдаемых значений случайной величины вокруг

Во всяком статистическом распределении неизбежно присутствуют элементы случайности. Однако при очень большом числе наблюдений эти случайности сглаживаются, и случайные явления обнаруживают присущую ему закономерность.

При обработке статистического материала приходится решать вопрос о том, как подобрать для данного статистического ряда теоретическую кривую. Эта теоретическая кривая распределения должна выражать существенные черты статистического распределения - эта задача называется задачей сглаживания или выравнивания статистического ряда.

Иногда общий вид распределения случайной величины Х вытекает из самой природы этой случайной величины.

Пусть случайная величина Х - это результат измерения некоторой физической величины прибора.

Х = точное значение физической величины + ошибка прибора.

Случайная ошибка прибора при измерении имеет суммарную природу и распределена по нормальному закону. Следовательно такое же распределение имеет случайная величина Х, т.е. нормальное распределение с плотностью вероятности:

Где , , .

Параметры и определяются так, чтобы числовые характеристики теоретического распределения были равны соответствующим числовым характеристикам статистического распределения. При нормальном распределении полагают, что ,,, тогда функция нормального распределения примет вид:

Таблица 5. Выравнивающая кривая

Номер интервалаСередина интервала XiТабулированная функцияНормальная кривая 1-8,0060-2,41870,02140,00922-6,6980-1,85490,07140,03083-5,3900-1,29110,17340,07474-4,0820-0,72730,30620,13205-2,7740-0,16350,39360,1697M-2,394700,39890,17206-1,46600,40030,36820,15877-0,15800,96410,25070,108081,15001,52790,12420,053592,45802,09170,04480,0193103,76602,65550,01170,0051

Теоретическую нормальную кривую строим по точкам на одном графике с гистограммой статистического ряда (Ошибка! Источник ссылки не найден).

Рисунок 6

Выравнивание статистической функции распределения

Статистическую функцию распределения выравниваем функцией распределения нормального закона:

где,, - функция Лапласа.

Таблица 7. Функция распределения

Номер интервалаСередина интервала XiФункция Лапласа Функция распределения1-8,0060-2,4187-0,49220,00782-6,6980-1,8549-0,46820,03183-5,3900-1,2911-0,40170,09834-4,0820-0,7273-0,26650,23355-2,7740-0,1635-0,06490,4351m-2,3947000,50006-1,46600,40030,15550,65557-0,15800,96410,33250,832581,15001,52790,43670,936792,45802,09170,48180,9818103,76602,65550,49600,9960

Строим график теоретической функции распределения по точкам / вместе с графиком статистической функции распределения.

Рисунок 6

Пусть изучается случайная величина Х с математическим ожиданием и дисперсией, оба параметра неизвестны.

Пусть х1, х2, х3, …, хn - выборка, полученная в результате проведения n независимых наблюдений случайной величины Х. Чтобы подчеркнуть случайный характер величин х1, х2, х3, …, хn перепишем их в виде:

Х1, Х2, Х3, …, Хn, где Хi - значение случайной величины Х в i-ом опыте.

Требуется на основании этих опытных данных оценить математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Такие оценки называются точечными, в качестве оценки m и D можно принять статистическое математическое ожидание и статистическую дисперсию , где

До проведения опыта выборка Х1, Х2, Х3, …, Хn есть совокупность независимых случайных величин, которые имеют математическое ожидание и дисперсию, а значит распределение вероятности такие же как и сама случайная величина Х. Таким образом:

Где i = 1, 2, 3, …, n.

Исходя из этого, найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины (пользуясь свойствами математического ожидания).

Таким образом математическое ожидание статистического среднего равно точному значению математического ожидания m измеряемой величины, а дисперсия статистического среднего в n раз меньше дисперсии отдельных результатов измерений.

при

Это значит, что при большом объеме выборки N статистическое средние является величиной почти неслучайной, оно лишь незначительно отклоняется от точного значения случайной величины m. Этот закон называется законом больших чисел Чебышева.

Точечные оценки неизвестных значений математического ожидания и дисперсии имеют большое значение на первоначальном этапе обработки статических данных. Их недостаток в том, что неизвестно с кокой точностью они дают оцениваемый параметр.

Пусть по данной выборке Х1, Х2, Х3, …, Хn получены точные статистические оценки и, тогда числовые характеристики случайной величины Х будут приближенно равны . Для выборки небольшого объема вопрос поточности оценки существенен, т.к. между m и, D и будут недостаточно большие отклонения. Кроме того при решении практических задач требуется не только найти приближенные значения m и D, но и оценить их точность и надежность. Пусть , т.е. является точечной оценкой для m. Очевидно, чтотем точнее определяет m, чем меньше модуль разности . Пусть , где ?>0, тогда, чем меньше ?, тем точнее оценка m. Таким образом, ?>0 характеризует точность оценки параметра. Однако статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка истинного значения m удовлетворяет, можно лишь говорить о вероятности ?, с которой это неравенство выполняется:

Таким образом, ? - это доверительная вероятность или надежность оценки , значение ? выбираются заранее в зависимости от решаемой задачи. Надежность ? принято выбирать 0.9; 0.95; 0.99; 0.999. События с такой вероятностью являются практически достоверными. По заданной доверительной вероятности можно найти число ?>0 из .

Тогда получим интервал, который накрывает с вероятностью ? истинное значение математического ожидания m, длина этого интервала равна 2?. Этот интервал называется доверительным интервалом . А такой способ оценки неизвестного параметра m - интервальным .

Пусть дана выборка Х1, Х2, Х3, …, Хn, и пусть по этой выборке найдено ,,.

Требуется найти доверительный интервал для математического ожидания m с доверительной вероятностью ?. Величина есть величина случайная с математическим ожиданием,.

Случайная величина имеет суммарную природу, при большом объеме выборки она распределена по закону близкому к нормальному. Тогда вероятность попадания случайной величины в интервал будет равна:

Где

Где - функция Лапласа.

Из формулы (3) и таблиц функции Лапласа находим число ?>0 и записываем доверительный интервал для точного значения случайной величины Х с надежностью ?.

В этой курсовой работе значение ? заменим, и тогда формула (3) примет вид:

Найдем доверительный интервал , в котором находится математическое ожидание. При ? = 0.99, n = 100, ,.

по таблицам Лапласа находим:

Отсюда ? = 0,5986.

Доверительный интервал, в котором с вероятностью 99% находится точное значение математического ожидания.

Заключение

случайный величина распределение экономический

Решение задач структурно-параметрической идентификации при ограниченных объемах выборок, которыми, как правило, обладают метрологи, обостряет проблему. В этом случае еще более важными оказываются корректность применения статистических методов анализа, использование оценок, обладающих наилучшими статистическими свойствами, и критериев, обладающих наибольшей мощностью.

При решении задач идентификации предпочтительнее опираться на классический подход. При идентификации рекомендуется рассматривать более широкое множество законов распределения, в том числе модели в виде смесей законов. В этом случае для любого эмпирического распределения мы всегда сможем построить адекватную, статистически существенно более обоснованную математическую модель.

Следует ориентироваться на использование и разработку программных систем, обеспечивающих решение задач структурно-параметрической идентификации законов распределений при любой форме регистрируемых наблюдений (измерений), включающих современные методы статистического анализа, ориентироваться на широкое, но корректное использование в исследованиях методов компьютерного моделирования. Мы уже видели, что для многих экспериментов нет никаких различий в подсчёте вероятностей событий, тогда как элементарные исходы в этих экспериментах очень различаются. Но нас и должны интересовать именно вероятности событий, а не структура пространства элементарных исходов. Поэтому пора во всех таких «похожих» экспериментах вместо самых разных элементарных исходов использовать, например, числа. Иначе говоря, каждому элементарному исходу поставить в соответствие некоторое вещественное число, и работать только с числами.

Особенный интерес представляет количественная оценка предпринимательского риска при помощи методов математической статистики. Основными инструментами этого метода оценки являются:

§ вероятность появления случайной величины ,

§ математическое ожидание или среднее значение исследуемой случайной величины,

§ дисперсия ,

§ стандартное (среднеквадратическое) отклонение ,

§ коэффициент вариации ,

§ распределение вероятностей исследуемой случайной величины.

Для принятия решения нужно знать величину (степень) риска, которая измеряется двумя критериями:

1) среднее ожидаемое значение (математическое ожидание),

2) колебания (изменчивость) возможного результата.

Среднее ожидаемое значение это средневзвешенное значение случайной величины, которое связано с неопределенностью ситуации:

где значение случайной величины.

Среднее ожидаемое значение измеряет результат, который мы ожидаем в среднем.

Среднее значение является обобщенной качественной характеристикой и не позволяет принятия решения в пользу какого-нибудь отдельного значения случайной величины.

Для принятия решения необходимо измерить колебания показателей, то есть определить меру изменчивости возможного результата.

Колебание возможного результата представляет собой степень отклонения ожидаемого значения от средней величины.

Для этого на практике обычно используют два тесно связанных критерия: «дисперсия» и «среднеквадратическое отклонение».

Дисперсия – средневзвешенное из квадратов действительных результатов от среднего ожидаемого:

Среднеквадратическое отклонение – это квадратный кореньиз дисперсии. Оно является размерной величиной и измеряется в тех же единицах, в которых измеряется исследуемая случайная величина:

Дисперсия и среднеквадратическое отклонение служат мерой абсолютного колебания. Для анализа обычно используется коэффициент вариации.

Коэффициент вариации представляет собой отношение среднеквадратического отклонения к среднему ожидаемому значению , умноженное на 100%

или .

На коэффициент вариации не влияют абсолютные значения исследуемого показателя.

С помощью коэффициента вариации можно сравнивать даже колебания признаков, выраженных в разных единицах измерения. Коэффициент вариации может изменяться от 0 до 100%. Чем больше коэффициент, тем больше колебания.

В экономической статистике установлена такая оценка разных значений коэффициента вариации:

до 10% - слабое колебание, 10 – 25% - умеренное, свыше 25% - высокое.

Соответственно, чем выше колебания, тем больше риск.

Пример. Владелец небольшого магазина вначале каждого дня закупает для реализации некоторый скоропортящийся продукт. Единица этого продукта стоит 200 грн. Цена реализации – 300 грн. за единицу. Из наблюдений известно, что спрос на этот продукт на протяжении дня может быть 4, 5, 6 или 7 единиц с соответствующими вероятностями 0,1; 0,3; 0,5; 0,1. Если продукт на протяжении дня не будет реализован, то в конце дня его всегда купят по цене 150 грн. за единицу. Сколько единиц этого продукта должен закупить владелец магазина вначале дня?

Решение. Построим матрицу прибыли владельца магазина. Вычислим прибыль, которую получит владелец, если, например, он закупит 7 единиц продукта, а реализует на протяжении дня 6 и в конце дня одну единицу. Каждая единица продукта, реализованная на протяжении дня, дает прибыль в 100 грн., а в конце дня – потери 200 – 150 = 50 грн. Таким образом, прибыль в этом случае будет составлять:

Аналогично проводятся расчеты при других сочетаниях предложения и спроса.

Ожидаемая прибыль вычисляется как математическое ожидание возможных значений прибыли каждой строки построенной матрицы с учетом соответствующих вероятностей. Как видим, среди ожидаемых прибылей наибольшая равна 525 грн. Она соответствует закупке рассматриваемого продукта в количестве 6 единиц.

Для обоснования окончательной рекомендации о закупке необходимого количества единиц продукта вычислим дисперсию, среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации для каждого возможного сочетания предложения и спроса продукта (каждой строки матрицы прибыли):


400	0,1	40	16000
400	0,3	120	48000
400	0,5	200	80000
400	0,1	40	16000
	1,0	400	160000


350	0,1	35	12250
500	0,3	150	75000
500	0,5	250	125000
500	0,1	50	25000
	1,0	485	2372500


300	0,1	30	9000
450	0,3	135	60750
600	0,5	300	180000
600	0,1	60	36000
	1,0	525	285750

Что касается закупки владельцем магазина 6 единиц продукта в сравнении с 5 и 4 единицами, то это неочевидно, поскольку риск при закупке 6 единиц продукта (19,2%) больше, чем при закупке 5 единиц (9,3%) и тем более, чем при закупке 4 единиц (0%).

Таким образом, имеем всю информацию об ожидаемых прибылях и рисках. И решать, сколько единиц продукта нужно закупить каждое утро владельцу магазина с учетом своего опыта, склонности к риску.

На наш взгляд, владельцу магазина следует рекомендовать каждое утро закупать 5 единиц продукта и его средняя ожидаемая прибыль будет равна 485 грн. и если сравнить это с закупкой 6 единиц продукта, при которой средняя ожидаемая прибыль составляет 525 грн., что на 40 грн. больше, но риск в этом случае будет большим в 2,06 раза.

Что такое «математическая статистика»

Под математической статистикой понимают «раздел математики, посвященный математическим методам сбора, систематизации, обработки и интерпретации статистических данных, а также использование их для научных или практических выводов. Правила и процедуры математической статистики опираются на теорию вероятностей, позволяющую оценить точность и надежность выводов, получаемых в каждой задаче на основании имеющегося статистического материала». При этом статистическими данными называются сведения о числе объектов в какой-либо более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками.

По типу решаемых задач математическая статистика обычно делится на три раздела: описание данных, оценивание и проверка гипотез.

По виду обрабатываемых статистических данных математическая статистика делится на четыре направления:

- одномерная статистика (статистика случайных величин), в которой результат наблюдения описывается действительным числом;
- многомерный статистический анализ, где результат наблюдения над объектом описывается несколькими числами (вектором);
- статистика случайных процессов и временных рядов, где результат наблюдения - функция;
- статистика объектов нечисловой природы, в которой результат наблюдения имеет нечисловую природу, например, является множеством (геометрической фигурой), упорядочением или получен в результате измерения по качественному признаку.

Исторически первой появились некоторые области статистики объектов нечисловой природы (в частности, задачи оценивания доли брака и проверки гипотез о ней) и одномерная статистика. Математический аппарат для них проще, поэтому на их примере обычно демонстрируют основные идеи математической статистики.

Лишь те методы обработки данных, т.е. математической статистики, являются доказательными, которые опираются на вероятностные модели соответствующих реальных явлений и процессов. Речь идет о моделях поведения потребителей, возникновения рисков, функционирования технологического оборудования, получения результатов эксперимента, течения заболевания и т.п. Вероятностную модель реального явления следует считать построенной, если рассматриваемые величины и связи между ними выражены в терминах теории вероятностей. Соответствие вероятностной модели реальности, т.е. ее адекватность, обосновывают, в частности, с помощью статистических методов проверки гипотез.

Невероятностные методы обработки данных являются поисковыми, их можно использовать лишь при предварительном анализе данных, так как они не дают возможности оценить точность и надежность выводов, полученных на основании ограниченного статистического материала.

Вероятностные и статистические методы применимы всюду, где удается построить и обосновать вероятностную модель явления или процесса. Их применение обязательно, когда сделанные на основе выборочных данных выводы переносятся на всю совокупность (например, с выборки на всю партию продукции).

В конкретных областях применений используются как вероятностно-статистические методы широкого применения, так и специфические. Например, в разделе производственного менеджмента, посвященного статистическим методам управления качеством продукции, используют прикладную математическую статистику (включая планирование экспериментов). С помощью ее методов проводится статистический анализ точности и стабильности технологических процессов и статистическая оценка качества. К специфическим методам относятся методы статистического приемочного контроля качества продукции, статистического регулирования технологических процессов, оценки и контроля надежности и др.

Широко применяются такие прикладные вероятностно-статистические дисциплины, как теория надежности и теория массового обслуживания. Содержание первой из них ясно из названия, вторая занимается изучением систем типа телефонной станции, на которую в случайные моменты времени поступают вызовы - требования абонентов, набирающих номера на своих телефонных аппаратах. Длительность обслуживания этих требований, т.е. длительность разговоров, также моделируется случайными величинами. Большой вклад в развитие этих дисциплин внесли член-корреспондент АН СССР А.Я. Хинчин (1894-1959), академик АН УССР Б.В.Гнеденко (1912-1995) и другие отечественные ученые.

Часть 1. Фундамент прикладной статистики

1.2.3. Суть вероятностно-статистических методов принятия решений

Как подходы, идеи и результаты теории вероятностей и математической статистики используются при принятии решений?

Базой является вероятностная модель реального явления или процесса, т.е. математическая модель, в которой объективные соотношения выражены в терминах теории вероятностей. Вероятности используются прежде всего для описания неопределенностей, которые необходимо учитывать при принятии решений. Имеются в виду как нежелательные возможности (риски), так и привлекательные («счастливый случай»). Иногда случайность вносится в ситуацию сознательно, например, при жеребьевке, случайном отборе единиц для контроля, проведении лотерей или опросов потребителей.

Теория вероятностей позволяет по одним вероятностям рассчитать другие, интересующие исследователя. Например, по вероятности выпадения герба можно рассчитать вероятность того, что при 10 бросаниях монет выпадет не менее 3 гербов. Подобный расчет опирается на вероятностную модель, согласно которой бросания монет описываются схемой независимых испытаний, кроме того, выпадения герба и решетки равновозможны, а потому вероятность каждого из этих событий равна ½. Более сложной является модель, в которой вместо бросания монеты рассматривается проверка качества единицы продукции. Соответствующая вероятностная модель опирается на предположение о том, что контроль качества различных единиц продукции описывается схемой независимых испытаний. В отличие от модели с бросанием монет необходимо ввести новый параметр – вероятность р того, что единица продукции является дефектной. Модель будет полностью описана, если принять, что все единицы продукции имеют одинаковую вероятность оказаться дефектными. Если последнее предположение неверно, то число параметров модели возрастает. Например, можно принять, что каждая единица продукции имеет свою вероятность оказаться дефектной.

Обсудим модель контроля качества с общей для всех единиц продукции вероятностью дефектности р . Чтобы при анализе модели «дойти до числа», необходимо заменить р на некоторое конкретное значение. Для этого необходимо выйти из рамок вероятностной модели и обратиться к данным, полученным при контроле качества. Математическая статистика решает обратную задачу по отношению к теории вероятностей. Ее цель – на основе результатов наблюдений (измерений, анализов, испытаний, опытов) получить выводы о вероятностях, лежащих в основе вероятностной модели. Например, на основе частоты появления дефектных изделий при контроле можно сделать выводы о вероятности дефектности (см. теорему Бернулли выше). На основе неравенства Чебышева делались выводы о соответствии частоты появления дефектных изделий гипотезе о том, что вероятность дефектности принимает определенное значение.

Таким образом, применение математической статистики опирается на вероятностную модель явления или процесса. Используются два параллельных ряда понятий – относящиеся к теории (вероятностной модели) и относящиеся к практике (выборке результатов наблюдений). Например, теоретической вероятности соответствует частота, найденная по выборке. Математическому ожиданию (теоретический ряд) соответствует выборочное среднее арифметическое (практический ряд). Как правило, выборочные характеристики являются оценками теоретических. При этом величины, относящиеся к теоретическому ряду, «находятся в головах исследователей», относятся к миру идей (по древнегреческому философу Платону), недоступны для непосредственного измерения. Исследователи располагают лишь выборочными данными, с помощью которых они стараются установить интересующие их свойства теоретической вероятностной модели.

Зачем же нужна вероятностная модель? Дело в том, что только с ее помощью можно перенести свойства, установленные по результатам анализа конкретной выборки, на другие выборки, а также на всю так называемую генеральную совокупность. Термин «генеральная совокупность» используется, когда речь идет о большой, но конечной совокупности изучаемых единиц. Например, о совокупности всех жителей России или совокупности всех потребителей растворимого кофе в Москве. Цель маркетинговых или социологических опросов состоит в том, чтобы утверждения, полученные по выборке из сотен или тысяч человек, перенести на генеральные совокупности в несколько миллионов человек. При контроле качества в роли генеральной совокупности выступает партия продукции.

Чтобы перенести выводы с выборки на более обширную совокупность, необходимы те или иные предположения о связи выборочных характеристик с характеристиками этой более обширной совокупности. Эти предположения основаны на соответствующей вероятностной модели.

Конечно, можно обрабатывать выборочные данные, не используя ту или иную вероятностную модель. Например, можно рассчитывать выборочное среднее арифметическое, подсчитывать частоту выполнения тех или иных условий и т.п. Однако результаты расчетов будут относиться только к конкретной выборке, перенос полученных с их помощью выводов на какую-либо иную совокупность некорректен. Иногда подобную деятельность называют «анализ данных». По сравнению с вероятностно-статистическими методами анализ данных имеет ограниченную познавательную ценность.

Итак, использование вероятностных моделей на основе оценивания и проверки гипотез с помощью выборочных характеристик – вот суть вероятностно-статистических методов принятия решений.

Подчеркнем, что логика использования выборочных характеристик для принятия решений на основе теоретических моделей предполагает одновременное использование двух параллельных рядов понятий, один из которых соответствует вероятностным моделям, а второй – выборочным данным. К сожалению, в ряде литературных источников, обычно устаревших либо написанных в рецептурном духе, не делается различия между выборочными и теоретическими характеристиками, что приводит читателей к недоумениям и ошибкам при практическом использовании статистических методов.

3. Суть вероятностно-статистических методов

Как подходы, идеи и результаты теории вероятностей и математической статистики используются при обработке данных – результатов наблюдений, измерений, испытаний, анализов, опытов с целью принятия практически важных решений?

Обсудим модель контроля качества с общей для всех единиц продукции вероятностью дефектности р . Чтобы при анализе модели «дойти до числа», необходимо заменить р на некоторое конкретное значение. Для этого необходимо выйти из рамок вероятностной модели и обратиться к данным, полученным при контроле качества. Математическая статистика решает обратную задачу по отношению к теории вероятностей. Ее цель – на основе результатов наблюдений (измерений, анализов, испытаний, опытов) получить выводы о вероятностях, лежащих в основе вероятностной модели. Например, на основе частоты появления дефектных изделий при контроле можно сделать выводы о вероятности дефектности (см. обсуждение выше сиспользованием теоремы Бернулли). На основе неравенства Чебышева делались выводы о соответствии частоты появления дефектных изделий гипотезе о том, что вероятность дефектности принимает определенное значение.