Как узнать счастливый билет или нет. Недавно начатый журнал или давно забытые записи

В современном обществе по сей день люди верят в приметы , однако мало таких суеверий, которые бы сбывались почти всегда и практически у всех. Одним из таких является примета о счастливом билетике. Покупая билет в общественном транспорте, человек надеется получить именно счастливый! Что же это за билет такой, и что с ним делать?

Как определить счастливый билет

Счастливым билетом считается тот билет, в шестизначном номере которого сумма первых трех чисел равна сумме трех последних чисел . Этот метод определения счастливого билета самый распространенный. Его еще называют московским.

Есть питерский способ определения счастливого билетика. Согласно старых ленинградским приметам и суевериям, удачу принесет тот билет, сумма четных чисел которого будет равна сумме нечетных чисел в его порядковом номере.

Такие счастливые билетики попадаются очень часто. Однако есть и особенные, редкие билеты, которые, согласно приметам, приносят еще большую удачу. К примеру, счастливым билетом является билет, у которого шестизначный номер состоит из одинаковых цифр. Также удачу приносит и тот билет, у которого первые три цифры и последние три — одни и те же. Например: 321132.

Кроме счастливых билетов есть еще и встречные билетики. Ими являются те билеты, сумма первых трех чисел которых на одну единицу больше или меньше суммы трех последних чисел. Если вам попался такой билет, то в этот день вы встретите человека, которого давно не видели.

Что делать со счастливым билетом

Старинная примета гласит, что если вдруг попался счастливый билет, его необходимо тут же съесть, и тогда придет удача. Однако, как показывает практика, кроме несварения желудка этот ритуал ничего за собой не несет. Однако в этом ритуале есть доля разумного. Вероятно, билетик рекомендовалось съесть за тем, чтобы никто не смог увидеть расположение цифр на нем. Скорее всего, числа на счастливом билете или их сумма помогают выиграть в лотерею или решить какую-либо проблему.

Если вы нашли счастливый билет, то сохраните его. Согласно народной примете, он непременно принесет удачу . Но при этом не забудьте запомнить либо его цифры, либо их сумму — это может натолкнуть вас на правильное решение в затруднительной ситуации. Будьте счастливы и не забывайте нажимать на кнопки и

30.07.2014 09:13

Свадебные приметы существуют испокон веков и помогают молодоженам сохранить счастье на долгие годы. Узнайте о...

Для каждого Знака Зодиака существует свое личное число, притягивающее удачу. Окружив себя счастливыми числами, можно...

Сколько существует способов заплатить 50 центов? Мы считаем, что платить можно пенни 1 , никелями 5 , даймами 10 , четвертаками 25 и полудолларами 50 . Дьёрдь Пойа популяризовал эту задачу, продемонстрировав поучительный способ её решения с помощью производящих функций.

Запишем бесконечную сумму, представляющую все возможные способы размена. Начать проще всего со случая, когда имеется меньше разновидностей монет, поэтому положим для начала, что у нас нет никаких монет, кроме пенни. Сумму всех способов заплатить некоторое количество пенни (и только пенни) можно записать в виде

поскольку каждый вариант выплаты включает некоторое количество никелей, выбираемых из первого множителя, и некоторое количество пенни, выбираемых из P . (Заметьте, что N не равняется сумме 1 + 1 + 5 + (1 + 5 ) 2 + (1 + 5 ) 3 + ..., поскольку эта сумма включает многие виды выплат более чем по одному разу. Например, член (1 + 5 ) 2 = 1 1 + 1 5 + 5 1 + 5 5 трактует 1 5 и 5 1 , как если бы они были различными, но мы хотим перечислить все множества монет по одному разу безотносительно к их порядку.)

Аналогично, если допустить ещё и даймы, то получим бесконечную сумму

Наша задача состоит в том, чтобы найти, сколько слагаемых в C сто́ят ровно 50 центов.

Задача решается с помощью простого трюка. Заменим 1 на z , 5 на z 5 , 10 на z 10 , 25 на z 25 и 50 на z 50 . Каждое слагаемое тогда заменится на z n , где n — стоимость исходного слагаемого в пенни. Например, слагаемое 50 10 5 5 1 превратится в z 50+10+5+5+1 = z 71 . Каждый из четырёх возможных способов заплатить 13 центов, а именно, 10 1 3 , 5 1 8 , 5 2 1 3 и 1 13 , сведётся к z 13 ; следовательно, коэффициентом при z 13 после z -подстановки будет 4.

Пусть P n , N n , D n , Q n и C n обозначают число способов заплатить сумму в n центов, если можно использовать монеты не старше, соответственно, 1, 5, 10, 25 и 50 центов. Наш анализ показал, что эти числа суть коэффициенты при z n в соответствующих степенных рядах

Очевидно, что P n = 1 для всех n ≥0 . По кратком размышлении легко доказать, что N n = [n /5] + 1: для того чтобы составить сумму в n центов из пенни и никелей, мы должны взять 0, или 1, или..., или [n /5] никелей, после чего останется лишь единственный способ выбрать требуемое число пенни. Итак, значения P n и N n легко вычисляются, однако с D n , Q n и C n дело обстоит гораздо сложнее.

Один из подходов к исследованию этих формул основан на замечании, что 1 + z m + z 2m + ... есть просто 1/(1 – z m ). Следовательно, мы можем записать

Теперь, приравнивая коэффициенты при z n в этих уравнениях, получим рекуррентные соотношения, из которых желаемые коэффициенты легко вычисляются:

Например, коэффициент при z n в D = (1 – z 25)Q равен Q n – Q n –25 ; поэтому должно быть Q n – Q n –25 = D n , как и записано выше.

Можно было бы раскрыть эти соотношения и выразить Q n , например, в виде Q n = D n + D n –25 + D n –50 + D n –75 + ..., где сумма обрывается, когда индексы становятся отрицательными. Однако, исходная, неитеративная форма удобна тем, что каждый коэффициент вычисляется с помощью всего одного сложения, как в треугольнике Паскаля.

Используем эти соотношения, чтобы найти C 50 . Во-первых, C 50 = C 0 + Q 50 , так что нам нужно знать Q 50 . Далее, Q 50 = Q 25 + D 50 и Q 25 = Q 0 + D 25 ; поэтому нас также интересуют D 50 и D 25 . Эти значения D n в свою очередь, зависят от D 40 , D 30 , D 20 , D 15 , D 10 и D 5 и от N 50 , N 45 , ..., N 5 . Таким образом, чтобы определить все нужные коэффициенты, достаточно выполнить простые вычисления:

В самом низу таблицы находится ответ C 50: имеется ровно 50 способов дать 50 центов «на чай».

А что можно сказать о замкнутой форме для C n ? Перемножение всех уравнений даёт нам компактное выражение для производящей функции

которая является рациональной функцией от z , знаменатель которой имеет степень 91. Таким образом, мы можем разложить знаменатель на 91 множитель и выразить C n в «замкнутом виде», состоящем из 91 слагаемого. Но такое ужасное выражение не лезет ни в какие ворота. Нельзя ли в этом частном случае найти что-либо лучшее, а не применять общий метод?

А вот и первый проблеск надежды: если в C (z ) заменить 1/(1 – z ) на (1 + z + z 2 + z 3 + z 4)/(1 – z 5):

то степень знаменателя «сжатой» функции Č (z ) уже только 19, так что эта функция гораздо лучше исходной. Новое выражение для C (z ) показывает, в частности, что C 5n = C 5n +1 = C 5n +2 = C 5n +3 = C 5n +4 ; и действительно, это соотношение легко объяснить: чаевые в 53 цента можно дать ровно столькими же способами, как и чаевые в 50 центов, поскольку количество пенни по модулю 5 заранее известно.

Однако даже для Č (z ) не существует простого выражения, основанного на корнях знаменателя. Вероятно, простейший способ вычисления коэффициентов Č (z ) получится, если заметить, что каждый сомножитель в знаменателе является делителем 1 – z 10 . Следовательно, мы можем записать

Вот, для полноты картины, развернутое выражение для A (z ):

(1 + z + ... + z 9) 2 (1 + z 2 + ... + z 8)(1 + z 5) =
= 1 + 2z + 4z 2 + 6z 3 + 9z 4 + 13z 5 + 18z 6 + 24z 7 +
+ 31z 8 + 39z 9 + 45z 10 + 52z 11 +57z 12 + 63z 13 + 67z 14 + 69z 15 +
+ 69z 16 + 67z 17 + 63z 18 + 57z 19 + 52z 20 + 45z 21 + 39z 22 + 31z 23 +
+ 24z 24 + 18z 25 + 13z 26 + 9z 27 + 6z 28 + 4z 29 + 2z 30 + z 31 .

И, в завершение, воспользовавшись тем, что

получаем следующее выражение для коэффициентов Č n при степенях z n в разложении функции Č (z ), в котором n = 10q + r и 0≤r <1 0:

Здесь фактически содержится 10 различных случаев, по одному на каждое значение r ; но это всё же неплохая замкнутая формула в сравнении с альтернативами, включающими степени комплексных чисел.

Используя это выражение, можем узнать, например, значение C 50q = Č 10q . Здесь r =0 , и мы имеем

для суммы в 1 доллар получается

а для миллиона долларов это число составит

Городская легенда о счастливом билете возникла, вероятно, вместе с этим документом. Покупая билет на проезд в любом виде транспорта, человек пытается угадать, принесет ли он ему счастье. Совсем не редкость, когда получивший такую частицу бумаги, стоит и подсчитывает числа, стараясь узнать повезло или нет. Билеты, названные «счастливыми» люди способны хранить годами носить как талисманы.

Поверье о «счастливом» билете основано на нумерологических упражнениях с идентификационным номером билета. Главное требование - получение талона на проезд в обычном порядке. Специальный поиск нужных цифр не считается по-настоящему удачным. Номер должен быть шестизначным. Хотя, существуют способы, расчета «счастливых» билетов, которые можно употреблять и на документах с нечетным количеством цифр.

Известны множество способов определения таких талонов. Один из них - «ленинградский». Согласно этой концепции, сумма четных чисел номера билета должна быть равна сумме нечетных. Самый популярный - «московский». Для определения «счастливого» билета этим способом, следует сложить между собой первые три числа, а затем вторую тройку. Суммы должны совпасть.

Жители Новосибирска поступают похожим способом, чтобы определить «удачный» талон. Правда, есть особенность - они складывают каждую тройку чисел до получения однозначного. С каждой стороны должно получиться одно и то же число, тогда билет «счастливый».

Иногда подсчитывают сумму каждой пары чисел в номере. Если три равны - талон наверняка принесет счастье.

Симметрия в этом деле - не на последнем месте. Номер, отмеченный таким знаком скорее всего принесет обладателю удачу. Одинаковое сочетание цифр как в правой, так и в левой половине номера - верный признак благосклонности фортуны. Существует способ «отзеркаливания». Когда первые три цифры, словно отражаясь в зеркале, повторяют вторую тройку - билет считается «счастливым».

Людям свойственно считать некоторые числа особенным, приносящими удачу только им. Талонами, волшебным образом влияющими на судьбу считаются те, сумма числ в номерах которых соответствует счастливому числу данной личности. Сложив между собой все цифры до получения однозначного числа, можно это узнать.

Любителям тренировать мозг, стоит выполнить различные упражнения с цифрами номера талона. Их можно перемножить, затем из полученного производного вычесть число их суммы. Если в результате получится ноль - это верный признак того, что судьба благоволит обладателю.

Когда не возникает сомнений в том, что билет приносит удачу, следует позаботиться о том, чтобы он всегда был рядом с человеком, как талисман. Только так он будет приносить счастье тому, кто его приобрел.

О том, что такое "счастливый билет" - прекрасно знают большинство студентов. Да и школьники частенько тоже. Правда, какие именно они бывают и что с ними делать - здесь мнения чаще всего расходятся.

Прежде всего, "счастливым по-студенчески" считается билет, ответы на который ты знаешь. Тут даже и к бабке не ходи - повезло тебе на экзамене, вытянул счастливый билет и сдал с первого раза, хоть из ста вопросов только эти два и выучить-то успел. Да так бойко отвечал, что уставший от "бе-каний и ме-каний" преподаватель даже слушать тебя до конца не стал - отправил с пятёркой в зачётке и с наставлениями остающимся: "Вот! Смотрите и учитесь, как надо сдавать предмет! Берите пример с этого хорошего человека!"
Вот это я понимаю, - "счастливый билет" !

Но бывают билеты, они же - талоны на проезд, которые считаются либо счастливыми, либо красивыми. Второе - крайне редко. Чаще всего их называют именно "счастливый"! Какие же билеты считаются таковыми?
Во-первых, и это крайне-редкий случай, счастливым считается билет, цифры номера которого одинаковы или расположены симметрично.
Например: 555555 или 252252 . Тут полная симметрия.
Но бывает симметрия неполная или зеркальная. Например так: 251251 - числа здесь расположены симметрично, а вот цифры - нет.
В любом случае, вышеприведённые примеры - это действительно "счастливые" билеты. Много ли их встречается? Ну, думаю, вы без труда сосчитаете, что очень и очень мало - тысяча на миллион, или каждый тысячный билет. Вероятность попадания такого билета в руки пассажира крайне мала. Мне за мою жизнь пока что выпало всего два таких билетика, хоть езжу в общественном транспорте я довольно часто,
А счастья-то хочется? Поэтому, изворотливыми и догадливыми пассажирами в скуке пути тут же были придуманы другие варианты "счастья". Например, просто одинаковые цифры в номере, расположенные в произвольном порядке: 251521 , например. Симметрии здесь и нет, но зато все цифры присутствуют. Дальше - больше. Счастливым стал считаться билетик, сумма троек цифр которых одинакова. Например, 474195:

4+7+4=15= 1+9+5

Опять же всем известно, что подобные билеты встречаются хоть и не каждый день, но всё-таки довольно часто. Примерно каждый 18-й билет - "счастливый по сумме". И если ездить постоянно, то встречаются они хотя бы раз в неделю. Как-то я провёл небольшой эксперимент: не выкидывал, а складывал эти билетики в карман сумки, чтобы сосчитать в конце месяца. Давно это было, не помню уже сколько точно, но в месяц у меня их тогда собралось не менее десяти штук. Учитывая, что муниципальным транспортом я езжу в среднем два-три раза в день (остальное время - маршрутки, а там у нас билетов почему-то выдавать не принято), получается, что каждая 6-9 поездка "вознаграждается" вот таким вот нехитрым счастьем. Ну, или один билетик в три дня. Но это, видать, у меня просто удачный месяц попался, потому что каждый 18-й билет должен попадаться как бы пореже.
И действительно, бывают времена, когда за месяц и ни одного не попадётся. Так что же делать? А голь на выдумки хитра. Например, есть билеты, "счастливые по-московски" (они же - "по-ленинградски" ) - это когда считаются не тройки цифр, а их пары. Например, сумма каждого чётного числа с нечётными: 63 49 86 . Здесь:

3+9+6= 18= 6+4+8

7-2-0=5= 8-2-1

Поэтому я придумал для себя ещё один вид счастливых билетов: "счастливый по умножению"!
Достаточно перемножить цифры в тройках, чтобы получить себе дополнительный "умножительный" заряд бодрости. Например: 338924. Здесь:

3*3*8=72= 9*2*4

Upd: Более того, можно не просто умножать! Вот, в комментариях docbrowns заметил, что можно ещё и в степень возводить! Например 261812 :

(2^6)^1 = 64 = (8^1)^2

2. Пример билета, "счастливого по умножению" а-ля :

Если вы пользуетесь общественным транспортом, присмотритесь внимательней к пассажирам. Очень, очень часто можно заметить, как при получении билетика они начинают изучать его цифры. Каждый ищет счастья... А что же потом с ним делать? Один раз я услышал разговор двух девчонок, ехавших на зачёт: "Ух-ты! У меня счастливый билетик!" - воскликнула одна. "Съешь его! Зачёт тогда сдашь!!!" - тут же отозвалась вторая. Право, я смеялся. Уж лучше они надеялись на тот счастливый "по-студенчески" билет, который я упомянул вначале. А ещё лучше - чтобы все полсотни билетов курса были для них счастливыми. Но... они предпочитают съесть троллейбусный, чем учить лекционные.
Ребята! Не надо есть талончики! Это совсем даже не полезно. И счастья вам не принесёт. Относитесь к счастливым билетам проще - раз он вам выпал , значит счастье не придёт, нет - вы уже счастливый или, проще, везучий человек! Вот и всё. Это всего лишь повод слегка улучшить себе настроение. Не верьте в приметы - они далеко не всегда основаны на фактах, а часто ещё и вред могут принести, особенно если начнёте есть четырёхлистные цветочки с земли или бумажные талончики из вторсырья да в автобусе! Как в том анекдоте: съел счастливый билет, и тут же счастье привалило - контролёр зашёл!

Относитесь к "счастливым билетам" как к способу слегка скоротать время поездки арифметическими упражнениями, и как к дополнительному поводу порадоваться в ней.

Кстати, папам и мамам на заметку: очень полезно рассказать о подобных упражнениях детям. Они в школе не очень любят устный счёт, так пусть хоть в троллейбусах развлекаются, суммируя или умножая цифры. Да и взрослым не повредит: как подряд, так и через одно, усваивая понятия чётность, симметрия, кратность... Да и о вычитании с делением тоже можно не забывать. В любом случае, для развития ребёнка такие весёлые задачки не повредят.

А если с билетиком вам не повезло - не расстраивайтесь! По улице ездит столько автомобилей со "счастливыми номерами"!

Удачи вам, и счастья!

Одним из классических примеров использования производящих функций является задача о счастливых билетах.

Троллейбусный (трамвайный) билет имеет номер, состоящий из шести цифр. Билет считается счастливым, если сумма первых трёх цифр равна сумме последних трёх, например, 024321. Первая цифра номера билета может быть нулём. Известно, что количество счастливых билетов из шести цифр равно 55252. Но как это число было получено? Вообще, как решать более сложную задачу: для любого положительного целого n указать количество 2n -значных счастливых билетов?

Здесь будут рассмотрены некоторые известные методы решения данной задачи. Количество счастливых билетов из 2n цифр будем обозначать символом L n .

Метод динамического программирования

Введём обозначение: — количество n -значных чисел с суммой цифр, равной k (число может начинаться с цифры 0). Понятно, что любой билет состоит из двух частей: левой (n цифр) и правой (тоже n цифр), причём в обеих частях сумма цифр одинакова. Количество счастливых билетов с суммой k в одной из частей, очевидно, равно . Значит общее количество 2n -значных счастливых билетов равно

Верхний индекс суммирования равен 9n , так как максимальная сумма цифр в одной части билета равна 9n .

Теперь осталось найти все значения . Количество n -значных чисел с суммой цифр k можно выразить через количество (n-1) -значных чисел, добавляя к ним n -ю цифру, которая может быть равна 0, 1, ..., 9:

Здесь неявно предполагается, что для n≥0 . Положим по определению .

Вычисление значений по указанной формуле лучше представить с помощью таблицы:

Любое число в этой таблице (кроме ) получается если просуммировать 10 элементов, стоящих слева и сверху от него. Например, в таблице красным цветом выделено число 73, а серым — числа, сумме которых оно равно. Само это число 73 означает, что именно столько существует трёхзначных чисел с суммой цифр 12.

Теперь нужно просуммировать квадраты чисел, стоящих в столбце n=3 : 1 2 +3 2 +6 2 +⋅⋅⋅=55252 . Если нужно было бы подсчитать восьмизначные билеты, то потребовалось бы вычислять столбец n=4 до значения k=36 .

Метод производящих функций

Билет состоит из двух частей. Рассмотрим произвольный счастливый билет, скажем, 271334 и заменим цифры второй его части на величину, которой им не хватает до 9. То есть 271665 . Теперь сумма всех цифр билета равна 27. Легко заметить, что такой фокус проходит с любым счастливым билетом. Таким образом, количество счастливых билетов из 2n цифр равно количеству 2n -значных чисел с суммой цифр, равной 9n . То есть

Теперь можно было бы воспользоваться техникой предыдущего пункта и найти число, стоящее в столбце n=6 и в строке k=27 . Получилось бы в точности 55252 . Но здесь можно воспользоваться техникой производящих функций.

Выпишем производящую функцию G(z) , коэффициент при z k у которой будет равен :

Действительно, однозначное число с суммой цифр k (для k=0,...,9 ) можно представить одним способом. Для k>9 — ноль способов.

Заметим, что если возвести функцию G в квадрат, то коэффициент при z k будет равен числу способов получить сумму k с помощью двух цифр от 0 до 9:

В общем случае, G n (z) — это производящая функция для чисел , поскольку коэффициент при z k получается перебором всех возможных комбинаций из n цифр от 0 до 9, равных в сумме k . Перепишем производящую функцию в ином виде:

В итоге, нам требуется отыскать

Для этого посмотрим, что будет получаться, если раскрывать скобки в следующем выражении (нас интересует только коэффициенты при z 27 ):

Таким образом,

Решение путём интегрирования

Внимание, данный раздел предназначен для тех, кто знаком с курсом ТФКП.

Воспользуемся производящей функцией G(z) из предыдущего раздела:

Составим ряд Лорана следующим образом:

Значение a 0 в данном разложении будет в точности равно [ проверьте ]

Интегральная теорема Коши говорит, что