Геометрические фигуры. Параллелепипед
В геометрии ключевыми понятиями являются плоскость, точка, прямая и угол. Используя эти термины, можно описать любую геометрическую фигуру. Многогранники обычно описывают через более простые фигуры, которые лежат в одной плоскости, такие как круг, треугольник, квадрат, прямоугольник и т.д. В данной статье мы рассмотрим, что такое параллелепипед, опишем типы параллелепипедов, его свойства, из каких элементов он состоит, а также дадим основные формулы для вычисления площади и объема для каждой разновидности параллелепипеда.
Определение
Параллелепипед в трехмерном пространстве - это призма, все стороны которой являются параллелограммами. Соответственно, она может иметь только три пары параллельных параллелограммов или шесть граней.
Чтобы визуализировать параллелепипед, представьте себе обычный стандартный кирпич. Кирпич - хороший пример прямоугольного параллелепипеда, который может представить себе даже ребенок. Другими примерами могут послужить многоэтажные панельные дома, шкафы, контейнеры для хранения пищевых продуктов соответствующей формы и т.д.
Разновидности фигуры
Существует всего две разновидности параллелепипедов:
- Прямоугольные, все боковые грани которых находятся под углом 90 о к основанию и являются прямоугольниками.
- Наклонные, боковые грани которых расположены под определенным углом к основанию.
На какие элементы можно разделить эту фигуру?
- Как и в любой другой геометрической фигуре, в параллелепипеде любые 2 грани с общим ребром зовутся смежными, а те, что его не имеют, являются параллельными (исходя из свойства параллелограмма, имеющего попарно параллельные противоположные стороны).
- Вершины параллелепипеда, не лежащие на одной грани, зовутся противоположными.
- Отрезок, соединяющий такие вершины, является диагональю.
- Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, соединяющихся в одной вершине, являются его измерениями (а именно, его длиной, шириной и высотой).
Свойства фигуры
- Он всегда построен симметрично по отношению к середине диагонали.
- Точка пересечения всех диагоналей делит каждую диагональ на два равных отрезка.
- Противолежащие грани равные по длине и лежат на параллельных прямых.
- Если сложить квадраты всех измерений параллелепипеда, полученное значение будет равно квадрату длины диагонали.
Расчетные формулы
Формулы для каждого частного случая параллелепипеда будут свои.
Для произвольного параллелепипеда верно утверждение, что его объем равен абсолютной величине тройного скалярного произведения векторов трех сторон, исходящих из одной вершины. Однако формулы для вычисления объема произвольного параллелепипеда не существует.
Для прямоугольного параллелепипеда действуют следующие формулы:
- V=a*b*c;
- Sб=2*c*(a+b);
- Sп=2*(a*b+b*c+a*c).
- V - объем фигуры;
- Sб - площадь боковой поверхности;
- Sп - площадь полной поверхности;
- a - длина;
- b - ширина;
- c - высота.
Еще одним частным случаем параллелепипеда, в котором все стороны - квадраты, является куб. Если любую из сторон квадрата обозначить буквой a, то для площади поверхности и объема данной фигуры можно будет использовать следующие формулы:
- S=6*a*2;
- V=3*а.
- S - площадь фигуры,
- V - объем фигуры,
- a - длина грани фигуры.
Последняя рассматриваемая нами разновидность параллелепипеда - прямой параллелепипед. В чем разница между прямым параллелепипедом и прямоугольным параллелепипедом, спросите вы. Дело в том, что основанием прямоугольного параллелепипеда может быть любой параллелограмм, а основанием прямого - только прямоугольник. Если обозначить периметр основания, равный сумме длин всех сторон, как Po, а высоту обозначить буквой h, мы имеем право воспользоваться следующими формулами для вычисления объема и площадей полной и боковой поверхностей.
Прямоугольный параллелепипед
Прямоугольный параллелепипед – это такой прямой параллелепипед, у которого все грани являются прямоугольниками.
Достаточно посмотреть вокруг себя, и мы увидим, что окружающие нас предметы имеют форму похожую на параллелепипед. Они могут отличать по цвету, иметь массу дополнительных деталей, но если эти тонкости отбросить, то можно сказать, что например шкаф, коробка и т.д., имеют приблизительно одинаковую форму.
С понятием прямоугольного параллелепипеда мы сталкиваемся практически каждый день! Оглянитесь вокруг и скажите, где вы видите прямоугольные параллелепипеды? Посмотрите на книгу, ведь она как раз такой формы! Эту же форму имеют кирпич, спичечный коробок, деревянный брусок, и даже прямо сейчас вы находитесь внутри прямоугольного параллелепипеда, ведь классная комната – это ярчайшая интерпретация этой геометрической фигуры.
Задание: А какие примеры параллелепипеда вы можете назвать?
Давайте более тщательно рассмотрим прямоугольный параллелепипед. И что мы видим?
Во-первых, мы видим, что эта фигура образована из шести прямоугольников, которые являются гранями прямоугольного параллелепипеда;
Во-вторых, прямоугольный параллелепипед имеет восемь вершин и двенадцать ребер. Ребра прямоугольного параллелепипеда – это стороны его граней, а вершины параллелепипеда являются вершинами граней.
Задание:
1. Какое название носит каждая из граней прямоугольного параллелепипеда? 2. Благодаря каким параметрам можно измерить параллелограмм? 3. Дайте определение противоположных граней.
Виды параллелепипедов
Но параллелепипеды бывают не только прямоугольными, но также они могут¬¬ быть прямыми и наклонными, а прямые как раз таки и делятся на прямоугольные, непрямоугольные и кубы.
Задание: Посмотрите на картинку и скажите, какие параллелепипеды на ней изображены. Чем прямоугольный параллелепипед отличается от куба?
Свойства прямоугольного параллелепипеда
Прямоугольный параллелепипед обладаем рядом важнейших свойств:
Во-первых, квадрат диагонали этой геометрической фигуры равняется сумме квадратов трех его основных параметров: высоты, ширины и длины.
Во-вторых, все его четыре диагонали абсолютно идентичны.
В-третьих, если все три параметра параллелепипеда одинаковы, то есть длина, ширина и высота равны, то такой параллелепипед называют кубом, и все его грани будут равны одному и тому же квадрату.
Задание
1. Имеет ли прямоугольный параллелепипед равные грани? Если таковы имеются, то покажите их на рисунке. 2. Из каких геометрических форм состоят грани прямоугольного параллелепипеда? 3. Какое расположение имеют равные грани по отношению друг к другу? 4. Назовите количество пар равных граней данной фигуры. 5. Найдите в прямоугольном параллелепипеде ребра, которые обозначают его длину, ширину, высоту. Сколько вы их насчитали?
Задача
Чтобы красиво оформить подарок на день Рождения маме, Таня взяла коробку в форме прямоугольного параллелепипеда. Размер данной коробки 25см*35см*45см. Чтобы сделать эту упаковку красивой, Таня решила, оклеит ее красивой бумагой, стоимость которой 3 гривны за 1 дм2. Сколько нужно потратить денег на упаковочную бумагу?
А вы знаете, что известный иллюзионист Девид Блейн в рамках эксперимента провел 44 дня в стеклянном параллелепипеде, подвешенном над Темзой. Эти 44 дня он не ел, а только пил воду. В свое добровольное узилище Девид взял только письменные принадлежности, подушку и матрас и носовые платки.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
либо (равносильно) многогранник с шестью гранями, являющимися параллелограммами. Шестигранник.
Параллелограммы, из которых состоит параллелепипед являются гранями этого параллелепипеда, стороны этих параллелограммов являются ребрами параллелепипеда , а вершины параллелограммов — вершинами параллелепипеда . У параллелепипеда каждая грань является параллелограммом .
Как правило выделяют любые 2-е противолежащие грани и называют их основаниями параллелепипеда , а оставшиеся грани — боковыми гранями параллелепипеда . Ребра параллелепипеда, которые не принадлежат основаниям являются боковыми ребрами .
2 грани параллелепипеда, которые имеют общее ребро являются смежными , а те, которые не имеют общих ребер — противоположными .
Отрезок, который соединяет 2 вершины, которые не принадлежат 1-ой грани является диагональю параллелепипеда .
Длины ребер прямоугольного параллелепипеда, которые не параллельны, являются линейными размерами (измерениями ) параллелепипеда. У прямоугольного параллелепипеда 3 линейных размера.
Типы параллелепипеда.
Существует несколько видов параллелепипедов:
Прямым является параллелепипед с ребром, перпендикулярным плоскости основания.
Прямоугольный параллелепипед, у которого все 3 измерения имеют равную величину, является кубом . Каждая из граней куба - это равные квадраты .
Произвольный параллелепипед. Объём и соотношения в наклонном параллелепипеде в основном определяются при помощи векторной алгебры. Объём параллелепипеда равняется абсолютной величине смешанного произведения 3-х векторов, которые определяются 3-мя сторонами параллелепипеда (которые исходят из одной вершины). Соотношение между длинами сторон параллелепипеда и углами между ними показывает утверждение, что определитель Грама данных 3-х векторов равняется квадрату их смешанного произведения .
Свойства параллелепипеда.
- Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
- Всякий отрезок с концами, которые принадлежат поверхности параллелепипеда и который проходит через середину его диагонали, делится ею на две равные части. Все диагонали параллелепипеда пересекаются в 1-ой точке и делятся ею на две равные части.
- Противоположные грани параллелепипеда параллельны и имеют равные размеры.
- Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равняется
Различается несколько типов параллелепипедов:
· Прямоугольный параллелепипед - это параллелепипед, у которого все грани - прямоугольники ;
· Прямой параллелепипед - это параллелепипед, у которого 4 боковые грани - параллелограммы;
· Наклонный параллелепипед - это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям.
Основные элементы
Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро - смежными. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют его измерениями.
Свойства
· Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
· Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
· Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
· Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений
Основные формулы
Прямой параллелепипед
· Площадь боковой поверхности S б =Р о *h, где Р о - периметр основания, h - высота
· Площадь полной поверхности S п =S б +2S о, где S о - площадь основания
· Объём V=S о *h
Прямоугольный параллелепипед
· Площадь боковой поверхности S б =2c(a+b), где a, b - стороны основания, c - боковое ребро прямоугольного параллелепипеда
· Площадь полной поверхности S п =2(ab+bc+ac)
· Объём V=abc, где a, b, c - измерения прямоугольного параллелепипеда.
· Площадь боковой поверхности S=6*h 2 , где h – высота ребра куба
34. Тетраэдр - правильный многогранник, имеет 4 грани, которые являются правильными треугольниками. Вершин у тетраэдра 4 , к каждой вершине сходится 3 ребра, а всего ребер 6 . Также тетраэдр является пирамидой.
Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями (АОС, ОСВ, ACB, AOB) , их стороны --- ребрами (AO, OC, OB) , а вершины ---вершинами (A, B, C, O) тетраэдра. Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными ... Иногда выделяют одну одну из граней тетраэдра и называют ее основанием , а три другие --- боковыми гранями .
Тетраэдр называется правильным , если все его грани - равносторонние треугольники. При этом правильный тетраэдр и правильная треугольная пирамида – это не одно и то же.
У правильного тетраэдра все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах равны.
35. Правильная призма
Призмой называется многогранник, у которого две грани (основания) лежат в параллельных плоскостях, а все ребра вне этих граней параллельны между собой. Грани, отличные от оснований, называются боковыми гранями, а их ребра называются боковыми ребрами. Все боковые ребра равны между собой как параллельные отрезки, ограниченные двумя параллельными плоскостями. Все боковые грани призмы являются параллелограммами. Соответствующие стороны оснований призмы равны и параллельны. Прямой называется призма, у которой боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, другие призмы называются наклонными. В основании правильной призмы лежит правильный многоугольник. У такой призмы все грани – равные прямоугольники.
Поверхность призмы состоит из двух оснований и боковой поверхности. Высотой призмы называется отрезок, являющийся общим перпендикуляром плоскостей, в которых лежат основания призмы. Высота призмы есть расстояние H между плоскостями оснований.
Площадью боковой поверхности S б призмы называется сумма площадей ее боковых граней. Площадью полной поверхности S п призмы называется сумма площадей всех ее граней. S п = S б + 2S ,где S – площадь основания призмы, S б – площадь боковой поверхности.
36. Многогранник, у которого одна грань, называемая основанием
, – многоугольник,
а другие грани – треугольники с общей вершиной, называется пирамидой
.
Грани, отличные от основания, называются боковыми.
Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды.
Ребра, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми.
Высотой пирамиды
называется перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды на ее основание.
Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.
Апофемой боковой грани правильной пирамиды называется высота этой грани, проведенная из вершины пирамиды.
Плоскость, параллельная основанию пирамиды, отсекает ее на подобную пирамиду и усеченную пирамиду.
Свойства правильных пирамид
- Боковые ребра правильной пирамиды - равны.
- Боковые грани правильной пирамиды - равные друг другу равнобедренные треугольники.
Если все боковые ребра равны, то
·высота проектируется в центр описанной окружности;
·боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы.
Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то
·высота проектируется в центр вписанной окружности;
·высоты боковых граней равны;
·площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани
37. Функцию y=f(x), где x принадлежит множеству натуральных чисел, называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью. Обозначают ее y=f(n), или (y n)
Последовательности можно задавать различными способами, словесно, так задается последовательность простых чисел:
2, 3, 5, 7, 11 и т.д
Считают, что последовательность задана аналитически, если указана формула ее n-го члена:
1, 4, 9, 16, …, n 2 , …
2) y n = C. Такую последовательность называют постоянной или стационарной. Например:
2, 2, 2, 2, …, 2, …
3) y n =2 n . Например,
2, 2 2 , 2 3 , 2 4 , …, 2 n , …
Последовательность называют ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа. Иными словами, последовательность можно назвать ограниченной, если есть такое число М, что выполняется неравенство y n меньше или равно M. Число М называют верхней границей последовательности. Например последовательность: -1, -4, -9, -16, …, - n 2 ; ограничена сверху.
Аналогично, последовательность можно назвать ограниченной снизу, если все ее члены больше некоторого числа. Если последовательность ограничена и сверху и снизу она называется ограниченной.
Последовательность называют возрастающей, если каждый ее последующий член больше предыдущего.
Последовательность называют убывающей, если каждый ее последующий член меньше предыдущего. Возрастающие и убывающие последовательности определяют одним термином – монотонные последовательности.
Рассмотрим две последовательности:
1) y n: 1, 3, 5, 7, 9, …, 2n-1, …
2) x n: 1, ½, 1/3, 1/ 4, …, 1/n, …
Если мы изобразим члены этой последовательности на числовой прямой, то заметим что, во втором случае члены последовательности сгущаются вокруг одной точки, а в первом случае такого нет. В подобных случаях говорят, что последовательность y n расходится, а последовательность x n сходится.
Число b называют пределом последовательности y n , если в любой заранее выбранной окрестности точки b, содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.
В данном случае мы можем написать:
Если частное прогрессии по модулю меньше единицы, то предел этой последовательности, при х, стремящимся к бесконечности равен нулю.
Если последовательность сходится, то только к одному пределу
Если последовательность сходится, то она ограничена.
Теорема Вейерштрасса: Если последовательность монотонно сходится, то она ограничена.
Предел стационарной последовательности равен любому члену последовательности.
Свойства:
1) Предел суммы равен сумме пределов
2) Предел произведения равен произведению пределов
3) Предел частного равен частному пределов
4) Постоянный множитель можно вынести за знак предела
Вопрос 38
сумма бесконечной геометрической прогрессии
Геометрическая прогрессия - последовательность чисел b 1 , b 2 , b 3 ,.. (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число q (знаменатель прогрессии), где b 1 ≠0 , q≠0.
Сумма бесконечной геометрической прогрессии – это предельное число, к которому сходится последовательность прогрессии.
Говоря иначе, какой бы длинной не была геометрическая прогрессия, сумма ее членов не больше какого-то определенного числа и практически равна этому числу. Оно и называется суммой геометрической прогрессии.
Не любая геометрическая прогрессия имеет такую предельную сумму. Она может быть только у такой прогрессии, знаменатель которой – дробное число меньше 1.
